周期倍增分叉现象：
在函数Xn=AXn-1（1-Xn-1），n=1，2，3………….
当中，随着参数A的增大，先是只有周期1的稳定解；当A增大到A1时，周期1的稳定解分叉为2个周期2的稳定解；当A增大到A2时，2个周期2的稳定解又分叉为4个周期4的稳定解…………当A增大到Am时，周期2m-1的稳定解又分叉为2m个周期2m的稳定解…………如此继续。
沙可夫斯基定理和周期倍增分叉现象，在实际的证券交易中也许并没有什么意义，这里着墨，主要是为了介绍“数学对混沌的定义”和菲根鲍姆普适常数。
四：数学对混沌的定义
1975年，华裔数学家李天岩和他的导师在《美國数学月刊》中发表了一篇论文，题目是《Period Three Implies
Chaos》-------《周期3意味着混沌》，用数学的方法解释了“混沌（Chaos）”，并且第一次使用了Chaos这个词。
李天岩在论文《Period Three Implies
Chaos》中，不仅再次证明了沙可夫斯基定理中“有周期3，就有任意自然数周期”的特例（在此之前，李天岩或许并不知道沙可夫斯基定理，因为沙可夫斯基本人并没有什么名气，也许可以这么说，沙可夫斯基反而是因为李天岩才名扬四海的），而且明确地刻画了“混沌（Chaos）”的数学含义：
设函数F（X）是[0，1]区间到[0，1]区间的连续迭代函数。如果F（X）有如 下性质，就说它有混沌现象：
（1） F（X）的周期无上限；
（2） 在区间[0，1]中有一个不可数的子集S，使得：
① 对于S中任意不同的两点X0和Y0，考虑迭代序列Xn=F（Xn-1）和
Yn=F（Yn-1），n=1，2，3………，当n趋于无穷大的时候，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0，下极限等于0；
②
对于X0是S中的一个任意点而Y0是迭代的任意一个周期点，考虑迭代序列Xn=F（Xn）和Yn=F（Yn），n=1，2，3………，当n趋于无穷大时，它们之间的距离|Xn-Yn|的上极限大于0。 【交易知识macd.org.cn收集整理】
对于非数学专业的交易者来说，恐怕会被混沌的数学定义搞得晕头转向，说实话，我也是稀里糊涂的。向前数大约1200字，是我请了9个搞数学的朋友，喝了7次茶才写出来的，不过，这7茶可没有白喝，我虽然没有明白数学对混沌定义的深刻含义，但是我明白了一个非常简单的道理，那就是：
周期3导致了混沌。
如果你想使用一種工具，或者建立一个系统，那么，首先就是要了解这種工具或系统的原理和特性，这是必须的一步。这一步没有坚实的基础，以后所有的都是空中楼阁。
我们在《混沌的启示》一文中，初步介绍了证券市场的结构------分形------一个由五支K线组成的形态，表示市场趋势受到了压力或支持。一个分形实际上，在形成以后，最重要的是3支K线，即后面的3支K线。以向上分形为例，在趋势向上的过程的高点以后，如果仅出现一支K线没有新高，并不能说明什么，市场可能是停顿，也可能是继续前进，但是一旦连续两个周期没有出现新高点，和有高点的那一周期，就形成了一个3周期的结构。这个3周期所形成的结构，就可以理解为周期3-------一个导致混沌的数字。
当然，周期3未必就一定导致混沌，因此，我们也把分形分成各種不同类型，比如坚定的分形、犹豫的分形和等待的分形。
另外一个非常重要的观点是：没有分形同样是一種结构------趋势运动有秩序的结构------这个结构简单流畅，是导致我们获利结构，是我们喜欢的结构。
