背景条件：
已知某赌博問題中，赌徒甲的初始本金为 a ，每次下注金额为 b ，且有0≤ b ≤ a ；在获胜概率为 p （即失败概率 q =1- p ）的条件下，如甲获胜则赢取 m*b ，失败则输去 n*b ，并有 m >0，0≤ n ≤ 1。
問題：
在限制单次最大损失 Z = n * b ≤ k * a ,（ k 为0到1之间的常数）前提下，确定赌徒甲的最佳下注规模 b ，使赌徒甲在经历 T 次赌博后的资金余额最大化，即 T 次赌博后资金余额的数学期望最大化：
E T （ a ） = MAX 〖 p * E T-1 ( a + m * b ) + q E T-1 ( a – n * b ) 〗 ，T=1、2、3、…
求解：
当T=1时，转化为对于一维的线性函数求极值：
E 1 （ a ） = MAX 〖 p * ( a + m * b ) + q ( a – n * b ) 〗
= MAX 〖 p * a + p * m * b + q * a –q * n * b 〗
= MAX 〖 a + ( p * m – q * n ) * b 〗
约束条件为：Z = n * b ≤ k * a ， 即b ≤ a * k /n ，k 为0、1间常数
基于 a 为大于0常数， b 非负性，导出：【交易知识macd.org.cn收集整理】
如 ( p * m – q * n ) > 0 ，
当且仅当 b 趋近于 a 时，函数趋近于最大值 E max = ( 1 + p * m – q * n ) * a ，但因约束存在，故有： b = a * k / n ， E max = [ 1 + k *（ p *m / n –q）] * a ;
如 ( p * m – q * n ) ≤ 0 ，
当且仅当 b 趋近于 0 时，函数趋近于最大值 E max = a ，则有： b = 0 ， E max = a 。
应用：
在赌博中，当满足 ( p * m – q * n ) > 0，即 p * m / n > q 时，方可参与赌博，且最佳下注金额为 b = a * k / n 。
对于经历一个周期后，求解使资金余额最大化的最优下注問題：
初始本金为 1 ，每次下注比例为 b ，且有0≤ b ≤ 1 ；获胜概率为 p （即失败概率 q =1- p ），如获胜则赢取 m*b ，失败则输去 n*b ，并有 m >0，0≤ n ≤ 1。
S = (1 + b*m)Tp * (1 – b*n)Tq * S0
S – 一個週期後的賭注
S0 – 一個週期前的賭注
T – 表示一个周期
(1 + b*m)Tp - 贏時的影響
(1 – b*n)Tq – 輸時的影響
所以，一個週期後的影響就是：
R = S / S0
R = (1 + b*m)Tp * (1 – b*n)Tq
R = (1 + b*m)Tp * (1 – b*n)T(1-p)
R = (1 + b*m)Tp * (1 – b*n)T /(1 – b*n)Tp
R = [(1 + b*m) /(1 – b*n)]Tp * (1 – b*n)T
MAX: R = [(1 + b*m) /(1 – b*n)]Tp * (1 – b*n)T
如何求解在一个周期中的最佳策略呢？
请同道中人解答
